复数是高考必考小题，一般在第 1‑4 题，难度很低，属于送分题，题型固定。
一、基本概念
复数定义
形如
z
=
a
+
bi（
a,
b
∈
R）
a：实部
b：虚部（注意：虚部是实数
b，不是
bi）
i：虚数单位，满足
i
2
=
−1
分类
实数：
b
=
0，
z
=
a
虚数：
b
=
0
纯虚数：
z
=
bi
高考常考：已知复数是纯虚数，求参数。
易错点：实部等于 0，同时虚部不能等于 0，两个条件都要写。
共轭复数
z
=
a
+
bi 的共轭复数
z
=
a
−
bi，实部不变，虚部变号。
复数的模
z
=
a
+
bi，模长
∣z∣
=
a
2
+
b
2
性质：
∣z∣
=
∣
z
∣；
∣z
1
⋅
z
2
∣
=
∣z
1
∣
⋅
∣z
2
∣；
z
2
z
1
=
∣z
2
∣
∣z
1
∣
二、复数四则运算（高考高频）
设
z
1
=
a
+
bi,
z
2
=
c
+
di
加法：
z
1
+
z
2
=
(a
+
c)
+
(b
+
d)i
减法：
z
1
−
z
2
=
(a
−
c)
+
(b
−
d)i
乘法：
z
1
z
2
=
(a
+
bi)(c
+
di)
=
(ac
−
bd)
+
(ad
+
bc)i
记住
i
2
=
−1，展开合并同类项。
除法（必考！分母实数化）
c+di
a+bi
=
(c+di)(c−di)
(a+bi)(c−di)
=
c
2+d
2
(ac+bd)+(bc−ad)i
👉 分子分母同乘分母的共轭复数，把分母变成实数。
i 的幂次周期（必背）
i
1
i
2
i
3
i
4
i
4n
=
i
=
−1
=
−i
=
1
=
1,
i
4n+1
=
i,
i
4n+2
=
−1,
i
4n+3
=
−i
周期为 4。
三、复数相等条件
若
a
+
bi
=
c
+
di
(a,
b,
c,
d
∈
R)
⇔
{
a
=
c
b
=
d
实部等于实部，虚部等于虚部。
四、复数的几何意义
复数
z
=
a
+
bi 对应复平面上点
Z(a,
b)
实轴：
x轴，上面的点对应实数；
虚轴：
y轴，原点除外，对应纯虚数。
复数对应向量
OZ
=
(a,
b)，模就是向量长度。
∣z
−
z
0
∣ 的几何含义：复平面上，点
z到点
z
0
的距离。
五、高频公式 & 易错点
z
⋅
z
=
∣z∣
2
=
a
2
+
b
2，超级常用。
易错：
虚部是
b，不是
bi；
纯虚数：
a
=
0 且
b
=
0，只写
a
=
0会错；
复数不能比较大小！只有实数可以比大小；
除法一定要分母实数化，不要直接约分。
六、高考常考题型
复数四则运算，求化简结果；
已知复数为纯虚数，求参数；
求共轭复数、复数的模；
复数相等求参数；
简单几何意义（距离）。
小练习（高考真题风格）
例：若复数
z
=
1
+
i
2
−
i
，求
z的虚部、
∣z∣、
z
解：
z
=
(1+i)(1−i)
(2−i)(1−i)
=
2
2−2i−i+i
2
=
2
1−3i
=
2
1
−
2
3
i
虚部：
−
2
3
∣z∣
=
(
2
1
)
2
+
(−
2
3
)
2
=
2
10
z
=
2
1
+
2
3
i
如果你需要，我可以整理一套复数高考真题专项。
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